Miten psykologia ja matematiikka eroavat ja mitä merkitystä sillä on yksilöllisen oppimisen kannalta?

Minusta se, mitä Pekka Peura on tehnyt matemattiikan opetuksen uudistamiseksi on hienoa. Kuulun Facebookissa ryhmään ”Yksilöllinen oppiminen ja oppimisen omistajuus”, jossa käydään keskustelua siitä, miten erilaisia yksilöllisen oppimisen sovelluksia voitaisiin kehittää eri aineisiin. Minusta Peuran tekemisessä on upeaa se, että hän on tunnistaessaan opetuksessa toistuvia ongelmia lähtenyt aktiivisesti ja ennakkoluulottomasti etsimään ratkaisuja, löytänyt niitä ja osoittanut, että monet koulussa itsestäänselvinä pidetyt käytännöt eivät ole välttämättömiä tai itsestäänselviä, vaan että asioita voidaan tehdä toisella tavalla onnistuneesti. Pekan ratkaisuihin voi tutustua myös esim. Matematiikan opetuksen tulevaisuus –sivustolla.

Yksilöllisen oppimisen ajatukset ovat herättäneet paljon kiinnostusta ja monet eri aineiden opettajat pohtivat ja tekevät kokeiluja niiden soveltamisessa erilaisiin oppimisympäristöihin ja erilaisiin aineisiin. Niin minäkin.

Minusta soveltamisessa on tärkeää lähteä ratkaisemaan juuri oman toimintaympäristön ja oppiaineen haasteita. Psykologia (oma oppiaineeni) ja matematiikka ovat aika erilaisia. Tässä vähän vertailua:

Matematiikka

  • perustuu monessa kohdin kasautuvaan tietoon: uutta asiaa ei ole edellytyksiä ymmärtää, jos aiemmat tiedot ovat puutteelliset
  • osaaminen osoitetaan ratkaisemalla ns. suljettuja ongelmia, joihin on oikea/väärä ratkaisu
  • opiskelija voi helposti tarkistaa, onko ratkaisu oikein
  • tieto rakentuu karkeasti näin: periaate  –> exeplaari –> soveltaminen uusien ongelmien ratkaisemisessa
  • tieto on olemassa tulkitsijasta irrallisena (tästä voi tietysti vääntää tietoteoreettista peistä, mutta minusta näin voi tässä yhteydessä heuristisesti ajatella)
  • on olemassa suhteellisen vakioinen matemaattisen osaamisen tietosisältö, jonka pohjlata oppimispolku voidaan rakentaa
  • kaikki opiskelevat matematiikkaa pakollisena alakoulusta alkaen

Psykologia

  • psykologinen ajattelutaito, joka on opetuksen tavoitteena perustuu hermeneuttisesti rakentuvaan ymmärtämiseen: samoihin näkökulmiin palataan uudelleen ja ymmärrys syvenee, aiemman tiedon puutteet eivät ole samalla tavalla ehdoton este mielekkäälle toiminnalle
  • osaaminen osoitetaan ajattelemalla ns. avoimia ongelmia; ongelmanratkaisun taitavuutta arvioidaan laadullisesti
  • opiskelijan on vaikeaa tunnistaa omaa osaamistaan avoimissa ongelmissa
  • tiedon lähtökohtana on teksti (luettu, puhuttu, katsottu) ja sen pohjalta tapahtuva ajatteleminen, joka johtaa ilmiöiden ymmärtämiseen aiempaa tarkemmin
  • tiedon tulkitseminen on olennaista: opettajan tehtävänä on mallintaa psykologista ajattelutapaa ja välittää hiljaista tietoa siitä, miten tämän alan asiantuntijat lähestyvät kompleksisia avoimia ongelmia, opettaja ikäänkuin kutsuu opiskelijaa osaksi psykologisesta tutkimuksesta ja teorioista käytävää keskustelua
  • psykologinen ajattelutaito ja sitä tukevat tiedot voidaan koota monella tavalla erilaiseen tutkimustietoon, teorioihin ja käsitteisiin nojautuen
  • psykologian opiskelu aloitetaan lukiossa ja se on suurelta osin valinnaista

photo-1435369882847-ebb3586d4765

Mitä tästä seuraa?

Tehtäviin perustuvat oppimispolut

Matematiikassa on valmiiksi olemassa tai kohtuullisella vaivalla generoitavissa lukuisia eritasoisia ongelmia, joiden ratkaiseminen on oppiaineen keskeisten oppimistavoitteiden näkökulmasta mielekästä. Näihin ongelmiin on olemassa oikeat vastaukset ja opiskeiijan on helppo tarkistaa, onko hän ratkaissut tehtävän oikein.

Psykologiassa tavoitteet liittyvät omaksutun tiedon soveltamiseen ja esimerkiksi ylioppilastutkinnossa ratkaistavat ongelmat ovat suurelta osin avoimia, monenlaisen tiedon soveltamista mahdollistavia ajattelutehtäviä. Hyvä näin. Yksilöllisen oppimispolun suunnittelemisen näkökulmasta tämä ero on kuitenkin ratkaiseva.

Kun aikuinen haluaa saada tietoa jostakin psykologisesta ilmiöstä, hän ei ratko tehtäviä. Paljon todennäköisemmin hän lukee kirjan tai tutkimusartikkeleita, kuuntelee luennon, keskustelee aiheesta asiantuntijan kanssa tai selvittää ajatuksiaan juttelemalla tai kirjoittamalla aiheesta. Nämä ovat tämän oppiaineen näkökulmasta luonnollisia tapoja rakentaa tietoa.

Näissä tiedon rakentamisen tavoissa on suljettujen ongelmien ratkaisemiseen verrattuna ratkaisevia eroja.

Ensinnäkin etenemistä on vaikeampi seurata ja vaikeampi arvioida.

Se, että opiskelija esimerkiksi kertoo, että on oppitunnilla lukenut tietyn tekstimäärän, ei sinänsä tunnu mielekkäältä osaamisen kriteeriltä. Se, että on ratkaissut tietyt tehtävät, tuntuu paljon paremmalta. Reaaliaineen opettaja voi yrittää ratkaista tämän ongelman näkemällä paljon vaivaa ja laatimalla sarjan opittavaan ainekseen liittyviä tehtäviä, joita opiskelija sitten voi ratkoa (ja tarkastaa itse omat vastauksensa). Tämä on työlästä ja myös aika vaikeaa. On nimittäin vaikeaa tehdä sarja suljettuja ongelmia, joiden ratkaiseminen kehittää linjakkaasti kykyä ajatella taitavasti avoimia ongelmia.

Matematiikan yksilöllisessä oppimisessa on hieman helpompaa säilyttää linjakkuus tekemisen, arvioinnin ja todellisten oppimistavoitteiden kanssa. Psykologiassa, ja ehkä muissakin reaaliaineissa, vaarana se, että tunneilla kyllä puuhastellaan (suljettujen) tehtävien parissa, mutta tekeminen ei samalla tavalla johdonmukaisesti liity siihen osaamisen, joka on tavoitteena. Ratkaisu tähän näyttäisi olevan, että laaditaan mielekkäitä, avoimia ongelmia.

Jos yrittää suoraan siirtää yksilöllisen oppimisen toimintatapaa psykologiaan, avoimissa ongelmissa on erityisiä haasteita. Opiskelijan on paljon vaikeampi itse tunnistaa tai arvioida omaa osaamistaan. Jotkut kykenevät siihen ja siinä voi kehittyä. Kuitenkin, kun tiedetään, että ihmiset ylipäätään ovat aika huonoja tunnistamaan omaa osaamistaan (kts. esimerkiksi Pauli Ohukaisen hieno artikkeli Dunning-Kruger efektistä) lienee tarpeen olettaa, että opiskelijat tarvitsevat psykologisten ajattelutehtävien arviointiin vähintään vertaistukea tai vielä todennäköisemmin opettajan palautetta.

Ei ole mahdotonta, että opettaja pystyy tällaista palautetta antamaan ja palautteen antaminen voi olla jopa varsin mielekästä. Oman kokemukseni mukaan palautteen kirjoittamiseen menee paljon aikaa, puhumattakan siitä, että onnistuisi oppituntien puitteissa ohjaamaan henkilökohtaisen palautteen avulla 30-35 yksilöllistä työskentelijää. Opettajan, joka lähtee suunnittelemaan yksilöllisen oppimisen polkua reaaliaineeseen, on hyvä olla tietoinen tästä, niin että hän voi ottaa sen resurssoinnissa huomioon. Vertaisarvioinnin organisointiin lienee monilla opettajilla hyviä käytäntöjä jo olemassa.

Tehtävätyyppi ja motivaatio 

Oppiaineelle luontevan tehtävätyypin eroista seuraa myös muita huomioitavia asioita: Motivaation syntymisen ja ylläpitämisen kannalta yksittäisten ongelmatehtävien ratkaiseminen ja niistä saatava välitön onnistumispalaute on aikalailla ihanteellista. Monet tietokonepelit perustuvat tällaiseen. Matematiikka on siis parhaimmillaan (melkein) yhtä hauskaa kuin tietokonepeli. Psykologisen ymmärryksen kehittymisen palkitsevuus on hitaampaa laatua. Vertaisin sitä pitkän romaanin lukemiseen, jossa pitää olla kärsivällisyyttä luottaa siihen, että kokonaiskuvan vähittäinen hahmottuminen on palkitsevaa ja että hitaampien kohtien läpi kannattaa kulkea, koska eihän sitä koskaan tiedä, mitä seuraavalla sivulla tapahtuu.

Jotkut haluavat pelata tietokonepelejä ja toiset lukea kirjaa. Molempiin on mahdollista löytää sisäinen motivaatio. Epäilen kuitenkin, että reaaliopettaja on tehtävien luonteen vuoksi hitusen kinkkisemmässä tilanteessa niiden opiskeiljoiden kanssa, joiden sisäinen motivaatio opiskeluun on vähäinen. On vaikea tehdä sellaista tehtäväsarjaa, josta ei voisi luikerrella läpi omistautumattomalla tekemisellä. Sekä seinä eli kokemus siitä, ettei tekemättömyys kannata, että onnistumisen kokemus tulevat matematiikassa nopeammin vastaan.

photo-1436158837638-6c0bce728447

Reaaliaineiden opetuksessa on jo ykslöllisyyttä mahdollistavia elementtejä 

Edeltävien huomioiden pohjalta reaaliope voi nyt ajatella, että voi harmi, oma oppiainehan sopii yksilöllisen opetuksen hienoihin tavoitteisiin huonosti. Näin onkin, jos mallista yritettää siirtää ulkoiset piirteet sellaisenaan reaaliopetukseen. Toisaalta yksilöllinen opetus matematiikassa on kehitetty ratkaisemaan nimenomaan matematiikan opetukseen liittyviä ongelmia. Oppiaines on kasautuvaa, opettaja määrää tahdin ja yksittäinen tehtävä on sama jokaiselle opiskelijalle. Ymmärrän, että matematiikan opettajan on turhauttavaa jankata heikommille yhtä asiaa, kun kolmasosa luokasta olisi valmis menemään jo eteenpäin ja odottaa turhautuneena. Samoin on varmasti todella turhauttavaa mennä eteenpäin asiaan, jonka tietää osalla oppilaista menevän väistämättä ohi, koska he eivät vielä ehtineet ymmärtää edellistä asiaa.

Toki reaaliaineissakin on sellaisia asioita, joiden ymmärtäminen on jatkon kannalta tärkeää, mutta noin enimmäkseen kelkkaan voi hypätä aina uuden aiheen kohdalla uudestaan ja paikata aika helpostikin siinä sivussa esim. niiden käsitteiden hallintaa, jotka ovat jääneet oppimatta tai unohtuneet. Osaaminen syntyy kehämäisesti ja rakentuu vähitellen paremmaksi ymmärrykseksi.   Näin opettajalla ja opiskelijalla on uusien alkujen päivä ainakin melkein joka päivä. Ryhmän kanssa yhdessä eteneminen ei siis ole opiskelijan oppimisen kannalta samalla tavalla ”älytöntä” kuin matematiikassa varmasti välillä on.

Toisaalta reaaliaineessa tai ainakin psykologiassa, josta minulla on kokemusta, eriyttäminen ylöspäin, ei sekään ole niin hankalaa. Opiskelijan on helppo hakea lisää tietoa lähes aiheesta kuin aiheesta. Opettaja ei pysty tässä seisomaan hänen tiellään. Eriyttämistä tapahtuu myös tehtävien sisällä. Parhaat esseeaiheet ja projektitehtävät ovat sellaisia, että aiheesta innostunut, osaava opiskelija tyypillisesti näkee tehtävässä erilaisen haasteen kuin se opiskelija, jonka taidot ja tiedot ovat vasta alkutekijöissä. Jos nämä opiskelijat työskentelevät samanaikaisesti projektin kimpussa, he saattavat tehdä aivan eritasoisia kognitiivisia suorituksia esimerkiksi tiedon jäsentämisessä, käsitteiden soveltamisessa ja esitettyjen ajatusmallien arvioinnissa. Siinä missä yksi onnistuu löytämään jokin toimivan esimerkin sisäisestä mallista voi vieressä istuja esittää perusteltua kritiikkiä skeeman käsitteestä ja siitä tavasta, jolla kognitiivista toimintaa on psykologiassa tutkittu. Silti molemmat vastaavat samaan tehtävään.

Yksilöllistä oppimista suunnittelevan opettajan näkökulmasta tämä lienee pelkästää hyvä uutinen.

photo-1434077669225-1c31be460e9c

***

Tällä kirjoituksella haluan osallistua yhteisöllisestä oppimisesta käytävään keskusteluun. Ajatteluketju ei jatku johdonmukaiseen loppuun. En päädy vastaukseen siitä, mitä näistä eroista seuraa tai pitäisi seurata reaaliaineiden opetuksen uudistamisen tai yksilöllistämisen kannalta. Itseäni tämä kuitenkin auttaa miettiessän sitä, mitä kannattaa lainata muilta, mitä säilyttää vanhasta ja mitä uutta kehittää oman oppiaineen kohdalla ja omien opiskelijoiden kanssa. Keskustelu jatkuu.

Kuvat: Unspash, CC0

Matemaattisia ongelmanratkaisutaitoja voi kehittää

Seuraavan artikkelin on kirjoittanut blogissa vierailijana Johanna Järnström.

 

Matematiikka: mekaanista laskemista vai ongelmanratkaisua?

Kun nykyään lähes kaikilla opiskelijoilla on käytössään tietokoneen kaltainen laskin ja/tai älypuhelin, joilla saa muutamassa sekunnissa ratkaistua yhtälöitä, derivoitua funktioita, laskettua keskihajontoja ja määritettyä käyrien leikkauspisteitä, matematiikan opetus ja opiskelu voisi ehkä yhä enemmän keskittyä laskurutiinien hiomisen sijasta ajattelua ja luovuutta vaativaan ongelmanratkaisuun. Laskurutiinien opettaminen ja opiskelu on toki paljon helpompaa, kuin matemaattisten ongelmanratkaisutaitojen opetus ja opiskelu.

Kitaraa oppii soittamaan soittamalla paljon kitaraa. Ruokaa oppii laittamaan laittamalla paljon ruokaa. Ongelmia oppii ratkaisemaan ratkaisemalla paljon ongelmia. Näin on ja tulee varmasti aina olemaan, mutta ongelmanratkaisutaitoja voi ja kannattaa myös kehittää tietoisesti.

Tämän artikkelin esittelemät ongelmanratkaisun periaatteet perustuvat matemaatikko George Pólyan (1887 – 1985) kirjoittamaan kirjaan Ratkaisemisen taito – Kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia (englanninkielinen alkuperäisteos How to Solve It).

Ratkaisemisen_taito_kansi

Ongelmanratkaisuprosessi

Ongelmanratkaisuprosessi voidaan jakaa karkeasti neljään vaiheeseen:

1. Ensin ratkaistava ongelma täytyy ymmärtää hyvin.

2. Kun ongelma on ymmärretty hyvin, tehdään ratkaisusuunnitelma.

3. Ratkaisusuunnitelma toteutetaan.

4. Lopuksi kannattaa tarkastella ja pohtia saatua ratkaisua.

Ensimmäinen vaihe on luonnollisesti oleellinen; mitään ongelmaa ei voi yrittää ratkaista, ellei ole ymmärtänyt, mistä siinä on kyse. Ongelmanratkaisuprosessin toinen vaihe, ratkaisusuunnitelman tekeminen, on ylivoimaisesti vaikein vaihe, sillä tässä vaiheessa ongelmanratkaisijan pitäisi saada oivallus, mahdollisesti jopa suoranainen neronleimaus. Kaikki tietävät, kuinka harvinaisia ne todellisuudessa ovat. Siksi on tärkeää, että opiskelijalla on käytössään kokoelma keinoja, joilla ratkaisusuunnitelmaa voi yrittää kehitellä.

  • Ensimmäisenä keinona kannattaa aina muistella, onko joskus kohdannut samantyyppisen ongelman. Kaikkia aiempia ongelmien ratkaisuja kannattaa kierrättää ja käyttää uudelleen.
  • Jos aiemmin ratkaistuista ongelmista ei ole apua, täytyy kokeilla hieman vaativampia keinoja. Ratkaistavaa ongelmaa täytyy ehkä muokata tai sen voi yrittää palastella ja sitten ratkaista palasia erikseen.
  • Ehkä täytyy kehitellä joitakin apuongelmia tai apuelementtejä, joita alkuperäisessä ongelmassa ei varsinaisesti ole. Kannattaa yrittää käyttää analogiaa eli samankaltaisuuksia, yleistämistä eli yleisemmän ongelman ratkaisemista tai erikoistamista eli jonkin erikoistapauksen tarkastelua.
  • Joskus voi olla hyvä idea lähteä liikkeelle siitä tuloksesta, jonka haluaa saada, eli työskennellä lopusta alkuun -menetelmällä. Näihin ja lukuisiin muihin keinoihin löytyy hyviä ohjeita Pólyan kirjassa.
  • Yksi ohjeista kehottaa myös ”nukkumaan yön yli.” Joskus ongelma, jota on edellisenä päivänä pohtinut ankarasti, ratkeaa kuin itsestään seuraavana aamuna.

Ongelmanratkaisuprosessin kolmas vaihe eli ratkaisun toteuttaminen ei enää vaadi neronleimauksia, vaan lähinnä tarkkuutta ja huolellisuutta. Neljäs vaihe on se, joka yleensä unohdetaan kokonaan. Kun opiskelija saa tehtyä hankalan tehtävän, on hän yleensä enemmän kuin valmis laittamaan matematiikan kirjan kiinni ja viimein tekemään jotain ihan muuta. Jos on saanut tehtyä vaativan ja ajattelua vaativan tehtävän, kannattaisi kuitenkin vielä käyttää hetki sen pohtimiseen. Se vahvistaa ongelmanratkaisutaitoja ja ehkä helpottaa tehtävien tekemistä tulevaisuudessa.

Vaikeiden ongelmanratkaisutehtävien kanssa työskentely vaatii aikaa ja kärsivällisyyttä. Täytyy olla valmis jättämään muut asiat pois mielestä ja keskittymään tehtävään täysillä. Mitään merkittävää ei yleensä saa aikaan pikaisella huitaisulla eikä mitään vaikeaa voi ymmärtää vain ohimennen vilkaisemalla.

Artikkelin kirjoittaja on matematiikan opettaja ja matemaatikko George Pólyan (1887 – 1985) kirjoittaman kirjan Ratkaisemisen taito – Kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia suomentaja.

Mallitehtävämenetelmä vauhdittaa matematiikan oppimista

Matematiikka näyttäytyy monelle opiskelijalle vaikeana oppiaineena. Sen oppiminen näyttää pintapuolisesti perustuvan lähinnä siihen, että opiskelija laskee kotitehtäviä ja kirjan muita tehtäviä. Jotkut sitten vain oppivat enemmän ja toiset vähemmän.

Entä jos tämä menetelmä ei näytä tuottavan tulosta? Tai entä, jos menetelmä kaatuu siihen, että tehtäviä ei yksinkertaisesti osaa ratkaista?

Matematiikan opiskelussa uusien tehtävien ratkaiseminen usein korostuu. Mallitehtävämenetelmässä sen sijaan otetaan kaikki irti niistä tehtävistä, jotka on jo onnistuneesti ratkaistu. Menetelmä on tarpeen erityisesti haastavien, vaikeiden tehtävätyyppien oppiskelussa tai jos matematiikan oppiminen kaiken kaikkiaankin tuottaa suuria vaikeuksia.

Ohjeet perustuvat  Cal Newportin kirjaan How to become a straight A student.

Mallitehtävämenetelmä

Etsi edustavat mallitehtävät, jotka sitten opettelet ratkaisemaan itsenäisesti.

Jos matematiikan oppiminen on vaikeaa, mallitehtävien on hyvä olla kurssin keskeisiä asioita sisältäviä tehtäviä.

Mallitehtäviksi sopivat:

  • oppikirjan valmiiksi lasketut esimerkkilaskut
  • muut opettajan tunnilla käsittelemät tehtäviä
  • tunnilla tarkastetut kotitehtävät – muista kirjoittaa ratkaisut taululta vihkoon

Oppikirjan mallitehtävät ovat tärkein ja helpoiten saatavilla oleva mallitehtävien sarja. Olennaista on, että nämä tehtävät ovat niitä, joihin on olemassa oikea, vaiheittain merkitty ratkaisu. Pelkkä oikea vastaus ei tässä menetelmässä riitä.

Opettele ratkaisemaan mallitehtävät itsenäisesti – mielellään jo silloin, kun tehtävä annetaan läksyksi ja ennen varsinaisten kotiläksyjen ratkaisemista. Jos opiskelu kuitenkin on jäänyt kurssin aikana vähälle, mallitehtävämenetelmä on yksi parhaista keinoista opetella olennaisia matematiikan sisältöjä nopeasti.

Etene näin:

  • kopioi mallitehtävä paperille
  • aloita ratkaiseminen ilman mallia
  • tarkista
  • opi virheistä
  • aloita alusta, ota uusi paperi
  • lopeta vasta, kun osaa ratkaista mallitehtävän ilman kirjan apua
  • siirry ratkaisemaan muita samaan asiaan liittyviä tehtäviä

Pyri eri vaiheissa ymmärtämään mitä olet tekemässä. Matematiikassa ei kuitenkaan ole kovin vaarallista, jos sinulla on selityksiä tyyliin ”tällaisessa tilanteessa nyt vaan aina tehdään näin, mutta en ihan tarkkaan ymmärrä miksi”.  Erityisesti matematiikassa jäljittelyyn perustuva harjoittelu voi edeltää ymmärtämistä*.

Menetelmä sopii myös muihin vastaavia tehtävätyyppejä sisältäviin aineisiin esimerkkiksi fysiikkaan ja kemiaan.

Menetelmän hyödyt

Mallitehtävien laskeminen ei tietenkään korvaa sitä, että opittua tietoa sitten vielä sovelletaan uusiin, ennalta tuntemattomiin ongelmiin. Mallitehtävämenetelmä on ennen kaikkea opiskelutekniikka, joka auttaa oppimaan uusien tehtävien ratkaisemisen kannalta olennaiset taidot.

Pelkkään uusien tehtävien ratkaisemiseen verrattuna menetelmällä on joitekin selviä etuja.

  1. Ponnistelu kohdistuu opittavan aineksen olennaisimpaan sisältöön. Opiskelet täsmälleen oikeita asioita.
  2. Jos et ymmärrä, et kuitenkaan jää jumiin. Voit palata valmiiseen ratkaisuun ja yrittää sen avulla oppia sen, mitä tarvitset itsenäisen ratkaisun tuottamiseen. Jos vielä lisäksi teet tunnilla esimerkkejä läpi käydessä muistiinpanoja, sinulla on paljon apuja eteenpäin pääsemiseksi.
  3. Jos jostain syystä et kuitenkaan onnistu tehtävän itsenäisessä ratkaisemisessa, tunnistat ongelmakohdan ja osaat pyytää opettajaa selittämään asian sinulle uudelleen.
  4. Saat runsaasti harjoitusta matematiikan ”perussiirroissa” ja siinä, miten laskujen vaihteet kuuluu merkitä. Nämä automatisoituvat ja alkavat sujua kuin luonnostaan.

Mallitehtävähaaste

Mallitehtävämenetelmässä on niin monia hyviä puolia, että voisin melkein antaa siille käyttötakuun:

JOS OSAAT LASKEA LYHYEN MATIKAN OPPIKIRJASTA EDELLÄ KUVATULLA TAVALLA ITSENÄISESTI MALLILASKUT JA MERKITÄ LASKUJEN ETENEMISEN NIIN KUIN NE OVAT KIRJASSA, SELVIÄT HYVÄKSYTYSTI KURSSIKOKEESTA!

Kokeile ja palaa kertomaan, kuinka kävi!

Kuva täältä.

* Lainaan Kaisa Haution keskustelussa esittämää ajatusta.